Diferencia entre revisiones de «Levitador Magnético»

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MODELO DEL LEVITADOR MAGNÉTICO
 
MODELO DEL LEVITADOR MAGNÉTICO
  
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En este modelo, el arrollado se representa por una resistencia <math> R_c </math> y un inductor L_c, aparte, se tiene una resistencia medidora de corriente R_s, con la cual, midiendo la tensión en sus extremos y se calcula la corriente aplicando la ley de ohm:
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En este modelo, el arrollado se representa por una resistencia <math> R_c </math> y un inductor <math>L_c</math>, aparte, se tiene una resistencia medidora de corriente <math>L_s</math>, con la cual, midiendo la tensión en sus extremos y se calcula la corriente aplicando la ley de ohm:
  
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LEY DE OHM R_S
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<math> i_c(t) = i_s(t) = \frac{v_s(t)}{R_s} </math>
  
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Ahora, aplicando LTK a la malla del arrollado, obtenemos la ecuación diferencial:
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Ahora, aplicando LTK a la malla del arrollado, se obtiene la ecuación diferencial:
  
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ECUACIÓN DIFERENCIAL
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<math> v_c(t) = (R_c+R_s)i_c(t) + L_c\frac{di_c(t)}{dt} </math>
  
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Se aplica la transformada de Laplace y se obtiene:
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Se aplica la transformada de Laplace a esta expresión y se obtiene:
  
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LAPLACE
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<math> V_c(s) = (R_c+R_s)I_c(s) + sL_cI_c(s) </math>
  
 
Despejando esta ecuación, obtenemos la ganancia de la corriente del arrollado, que está dada por:
 
Despejando esta ecuación, obtenemos la ganancia de la corriente del arrollado, que está dada por:
  
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GANANCIA DEL ARROLLADO
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<math> G_c(s) = \frac{I_c(s)}{V_c(s)} = \frac{k_c}{t_cs+1} = \frac{1}{L_cs+(R_c+R_s)} </math>
  
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Donde K_c = 1/(R_c+R_s) {{math|''x''<sup>2</sup> &ge; 0}} es la ganancia en estado estacionario del sistema y t_c=L_c/(R_c+R_s) es la constante de tiempo del sistema.
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Donde <math>K_c = \frac{1}{(R_c+R_s)}</math> es la ganancia en estado estacionario del sistema y <math>t_c=\frac{L_c}{(R_c+R_s)}</math> es su constante de tiempo.
  
 
==Análisis mecánico==
 
==Análisis mecánico==
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Continuando con la sección mecánica del sistema, tenemos que la fuerza de atracción que ejerce el arrollado sobre la bola de metal está dada por:
 
Continuando con la sección mecánica del sistema, tenemos que la fuerza de atracción que ejerce el arrollado sobre la bola de metal está dada por:
  
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FUERZA DEL ARROLADO SOBRE BOLA
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<math> F_c = \frac{-K_m i_c(t)^2}{2x_b^2}</math>
  
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Donde x_b es la distancia entre el arrollado y la bola de metal, y K_m es la constante de fuerza electromagnética, por otra parte, la fuerza de gravedad que se ejerce sobre la bola de metal es de:
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Donde <math>x_b</math> es la distancia entre el arrollado y la bola de metal, y <math>K_m</math> es la constante de fuerza electromagnética, por otra parte, la fuerza de gravedad que se ejerce sobre la bola de metal es de:
  
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FUERZA GRAVITACIONAL
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<math>F_g= M_bg</math>
  
 
Se suman las fuerzas y se aplica la segunda ley de newton, con lo que se obtiene:
 
Se suman las fuerzas y se aplica la segunda ley de newton, con lo que se obtiene:
  
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SEGUNDA DERIVADA DE LA POSICIÓN
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<math>a_b(t)=\frac{d^2x_b}{dt^2}M_b=gM_b-\frac{K_mi_c(t)^2}{2x_b(t)^2}</math>
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Se despeja esta expresión, y se tiene como resultado:
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<math>\frac{d^2x_b}{dt^2}=g-\frac{K_mi_c(t)^2}{2M_bx_b(t)^2}</math>
  
 
==Linealización==
 
==Linealización==
  
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Como se puede ver, la fuerza y aceleración dependen tanto del cuadrado de la corriente del arrollado como del cuadrado de la distancia entre el arrollado y la bola de metal, por lo que el sistema presenta un comportamiento no lineal, por lo que debe ser linealizado, para lo cual se usa un punto de operación [x_b0, i_c0], obteniendo:
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Como se puede ver, la fuerza y aceleración dependen tanto del cuadrado de la corriente del arrollado como del cuadrado de la distancia entre el arrollado y la bola de metal, por lo que el sistema presenta un comportamiento no lineal, por lo que debe ser linealizado, para lo cual se usa un punto de operación [<math>x_{b0}</math>, <math>i_{c0}</math>], obteniendo:
  
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LINEALIZACIÓN
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LINEALIZACIÓN <math>\partial(\frac{d^2x_b}{dt^2})=\frac{-K_mi_{c0}(t)^2}{2M_bx_{b0}^2}+\frac{K_mi_{c0}^2}{M_bx_{b0}^3}\partial x_b</math>
  
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Y al sustituir K_m=2Mgx_b0^2/i_c0^2 para un punto de operación dado, se tiene como resultado:
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Y al sustituir <math>K_m=\frac{2M_bgx_{b0}^2}{i_{c0}^2}</math> para un punto de operación dado, se tiene como resultado:
  
 
ECUACIÓN LINEALIZADA
 
ECUACIÓN LINEALIZADA

Revisión del 14:11 25 may 2018

Introducción.

Modelo del levitador magnético

El levitador posee un arrollado por el cual se hace pasar corriente, de forma que este ejerza una fuerza de atracción sobre la bola de metal, sin embargo, este sistema es no lineal, por lo que sus ecuaciones de estado deben ser linealizadas para poder ser útilizadas. A continuación se muestra el modelado y análisis del sistema del levitador:

Modelado de la cámara del levitador magnético

La cámara del levitador magnético se modela de la siguiente manera:

MODELO DEL LEVITADOR MAGNÉTICO

En este modelo, el arrollado se representa por una resistencia R_c y un inductor L_c, aparte, se tiene una resistencia medidora de corriente L_s, con la cual, midiendo la tensión en sus extremos y se calcula la corriente aplicando la ley de ohm:

i_c(t) = i_s(t) = \frac{v_s(t)}{R_s}

Ahora, aplicando LTK a la malla del arrollado, se obtiene la ecuación diferencial:

v_c(t) = (R_c+R_s)i_c(t) + L_c\frac{di_c(t)}{dt}

Se aplica la transformada de Laplace a esta expresión y se obtiene:

V_c(s) = (R_c+R_s)I_c(s) + sL_cI_c(s)

Despejando esta ecuación, obtenemos la ganancia de la corriente del arrollado, que está dada por:

G_c(s) = \frac{I_c(s)}{V_c(s)} = \frac{k_c}{t_cs+1} = \frac{1}{L_cs+(R_c+R_s)}

Donde K_c = \frac{1}{(R_c+R_s)} es la ganancia en estado estacionario del sistema y t_c=\frac{L_c}{(R_c+R_s)} es su constante de tiempo.

Análisis mecánico

Continuando con la sección mecánica del sistema, tenemos que la fuerza de atracción que ejerce el arrollado sobre la bola de metal está dada por:

F_c = \frac{-K_m i_c(t)^2}{2x_b^2}

Donde x_b es la distancia entre el arrollado y la bola de metal, y K_m es la constante de fuerza electromagnética, por otra parte, la fuerza de gravedad que se ejerce sobre la bola de metal es de:

F_g= M_bg

Se suman las fuerzas y se aplica la segunda ley de newton, con lo que se obtiene:

a_b(t)=\frac{d^2x_b}{dt^2}M_b=gM_b-\frac{K_mi_c(t)^2}{2x_b(t)^2}

Se despeja esta expresión, y se tiene como resultado:

\frac{d^2x_b}{dt^2}=g-\frac{K_mi_c(t)^2}{2M_bx_b(t)^2}

Linealización

Como se puede ver, la fuerza y aceleración dependen tanto del cuadrado de la corriente del arrollado como del cuadrado de la distancia entre el arrollado y la bola de metal, por lo que el sistema presenta un comportamiento no lineal, por lo que debe ser linealizado, para lo cual se usa un punto de operación [x_{b0}, i_{c0}], obteniendo:

LINEALIZACIÓN \partial(\frac{d^2x_b}{dt^2})=\frac{-K_mi_{c0}(t)^2}{2M_bx_{b0}^2}+\frac{K_mi_{c0}^2}{M_bx_{b0}^3}\partial x_b

Y al sustituir K_m=\frac{2M_bgx_{b0}^2}{i_{c0}^2} para un punto de operación dado, se tiene como resultado:

ECUACIÓN LINEALIZADA

Con lo que se obtiene la ecuación del moviviento linealizada, por último, calculamos la función de transferencia de lazo abierto aplicando la transformada de Laplace:

OLFT

Donde la frecuencia natural es de w_n=, y la ganancia en estado estacionario sería de K_b=.

Lista de componentes

A continuación se señalan todos los componentes necesarios para el uso del levitador magnético:

  • Cámara del Levitador Magnético.
  • Bola de Metal.
  • Recursos de Quanser Workstation.
  • Dos cables analógicos 6-pin mini-DIN a 6-pin mini-DIN (Nota: cables grises).
  • Amplificador (Quanser VoltPAQ-X1).
  • Dispositivo de adquisición de datos (Q2-USB).
  • Cable RCA a RCA (Nota: terminales rojas).
  • Cable de motor 4-pin a 6-pin (Nota: negro).
  • Cable de 5-pin a 4 RCA (Nota: terminales blanca, amarilla, negra y roja).

Software requerido

Se requieren diversos programas instalados en la computadora con la que se va a experimentar para usar el levitador magnético de manera óptima, estos se indican a continuación, se recomienda que sean instalados en el orden que se presentan:

  • LabVIEW™.
  • NI-DAQmx.
  • LabVIEW™ Control Design and Simulation Module.
  • LabVIEW™ Mathscript RT Module.
  • Quanser Rapid Control Prototuping Toolkit®.

Preparación del equipo

El equipo con el que se trabaja el levitador magnético debe implementarse de una manera específica para su correcto uso, a continuación presentamos los pasos para preparar la configuración del levitador magnético (Nota: Asegurarse de que no hay ningún componente conectado y que ninguna luz brillante alumbra el interior de la cámara del levitador magnético.):

  1. Colocar la bola de metal en el pedestal del la cámara del levitador magnético.
  2. Conecte un terminal del cable RCA a RCA en el Analog Output channel #0 (señalado como "AO #0") en el Quanser Q2-USB, y el otro extremo del cable en la ranura de "Amplifier Command" del amplificador.
  3. Usando el cable de 4-pin DIN a 6-pin DIN conecte la ranura "To Load" del amplificador a la ranura "Coil" en la cámara del levitador magnético (Nota: se encuentra en la parte trasera).
  4. Con el cable de 5-pin DIN a 4 RCA, conecte la ranura "To ADC" con el terminal de 5-pin DIN a la ranura de Analog Input #0 (indicada como "AI #0") con el terminal RCA amarillo y a la ranura Analog Input #1 ("AI #1") con el terminal RCA rojo.
  5. Conecte un extremo del cable 6-pin mini-DIN a 6-pin mini-DIN a la ranura "Sensor" en la caámara del levitador magnético y el otro extremo en la ranura "S1&S2" del amplificador.
  6. Usando otro de estos cables (6-pin mini-DIN a 6-pin mini-DIN) conectamos la ranura "Current Sense" de la cámara del levitador magnético a la ranura "S3" del amplificador
  7. Coloque la ganancia (switch señalado como "Amplifier Gain") en "3x", y encienda el amplificador con el switch que se encuentra en la parte trasera, debería encenderse la luz interior del levitador magnético.

Calibrado del levitador magnético

Para trabajar correctamente con el levitador magnético, este debe ser calibrado, de forma que no se obtengan lecturas erróneas y el sistema responda de forma apropiada, a continuación se indica como hacer esto:

  1. Encender la PC y el amplificador.
  2. Copiar la carpeta de Quick Start del CD de recursos de Quanser Workstation en la PC.
  3. Abrir el archivo "MAGLEV Quick Start.lvproj".
  4. Se abrirá una pestaña y se selecciona "MAGLEV Calibration.vi" de "My Computer".
  5. Ir al diagrama de bloques (con CTRL-E) y hacer doble click en "HIL Initialize".
  6. Se selecciona el DAQ que se está usando (Q2-USB) y se presiona "Ok".
  7. Ir al panel frontal (CTRL-E) y seleccionar la flecha blanca en la barra superior.
  8. Se debe calibrar el offset y la ganancia del levitador magnético, para lo que se deben seguir los siguienter pasos:
    • Para calibrar el offset:
      1. Inicialmente la corriente va a estar apagada (señalado por el botón verde oscuro en "Apply Current"), en caso contrario, se apaga.
      2. Colocar en el pedestal la bola de metal en caso de no estarlo.
      3. Variar el potenciómetro de "Offset" en la cámara del levitador magnético hasta que se obtenga 0 V o cercano en la tensión Vb (Nota: recomendamos hacerlo con un destornillador plano).
    • Para calibrar la ganancia:
      1. Se enciende el botón de "Apply Current".
      2. La bola debe saltar y adherirse al techo de la cámara.
      3. Se varía el potenciómetro "Gain" hasta tener una tensión Vb entre 4,75 V y 5 V.
  9. Apagar "Apply Current" y presionar "Stop"

Quick Start del levitador magnético

Para hacer pruebas rápidas con el levitador magnético se puede usar el archivo Quick Start, el cual para ejecutarse debe seguirse los siguientes pasos:

  1. Calibrar el levitador magnético.
  2. Abrir el archivo "MAGLEV Quick Start.lvproj" en LabVIEW.
  3. Se abre una pestaña, se selecciona "Magnetic Levitation Quick Start.vi" de "My Computer".
  4. Ir al diagrama de bloques (con CTRL-E) y seleccionar "HIL Initialize".
  5. Seleccionar el DAQ que se está usando (Q2-USB).
  6. Seleccionar la flecha blanca en la barra superior del panel frontal (CTRL-E).
  7. La bola debe comenzar a levitar lentamente hasta encontrar un equilibrio y seguir el patrón ya definido por el proyecto.
  8. Se selecciona "Stop" cuando se desee detener la prueba.

Cambio de la señal de referencia para la posición

Texto de cambio de la señal de referencia para la posición.

Véase también

LabVIEW

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